La Pente

• Au début, tout était simple : le Sol Plat d'Alphaville était bien plat, et les Prés Carrés, bien carrés.
• Mais, hélas, vint une Coline et une Vallée, et tout devint plus compliqué.

La Grandeur Vraie

• Tout était plus compliqué, car la Pente étant oblique, les ☀️ Projections ne reflétaient plus la vraie réalité.
• En effet, quand on regardait Alphaville en plan (touche 7 du pavé numérique) le Jour 1, on voyait les Prés Carrés tels qu'ils étaient, dans toute leur grandeur, dans toute leur extension.
• Quand nous regardons parallèlement au plan XY et que les PC sont des objets plans parallèles au plan XY, nous les voyons « en vraie grandeur » : c'est la fonction première d'un « géométral » que de représenter les objets dans leurs véritables proportions, et même s'ils sont réduits « à l'échelle », nous pouvons les mesurer et en tirer une information « vraie » et non déformée.
• Or, le Jour 2, nous pouvions toujours regarder Alphaville en plan (touche 7), mais comme les PC n'étaient plus, eux-mêmes, plans (car oui, ils formaient maintenant des surfaces inclinées et les 4 points du PC étant à des altitudes différentes, ils formaient des surfaces gauches ¹⁾ et le « plan » ne donnait donc plus les « vraies grandeurs ». Pour connaître la surface de ces objets « déformés », le plan ne suffisait plus. Lors de la Saison 1, les Alphas avaient appris à calculer la surface des Prés Inclinés (PI), mais lors de la Saison 2, l'Oracle voulu, à la place, construire une Grande Arche en forme de Grande Maison…

La Grande Arche

• Pour célébrer leur faculté de calcul des pentes et des surfaces, les Alphas se mirent à construire la Grande Arche au Toit Pointu, car c'était une idée de l'Oracle.
• Pour modéliser la Grande Arche, rien de plus simple, il suffisait de suivre les instructions textuelles ici présentes, et les instructions visuelles dans le Livre d'Aleph.
• Mais très rapidement, les Alphas se rendirent compte, avec effroi, que c'était, là aussi, un peu compliqué.
• Un point en particulier, posait un problème… le point P ! (voir schéma)
• Pour le calcul des Prés Inclinés, il fallait invoquer le théorème du Grand Py ²⁾
• À présent, il fallait faire appel au Grand Pi !

Le Plan

• Le Plan
• Commençons par le commencement, créons un Pré Carré en mode édition.
• Puis, divisons ce Pré en 4 parties égales de 50mx50m
• Déconnectons, en mode édition, une de ces parties : sélectionner une face (en mode face) et appuyer sur la touche Y, il s'agit de l'opérateur split : la face est maintenant déconnectée des trois autres faces. C'est-à-dire qu'elle ne partage plus aucun point en commun avec les autres faces. La continuité géométrique (qu'on appelle en 3D la « topologie ») est rompue.
• Divisons à nouveau cette face en 4 parties égales afin d'obtenir 4 carrés de 25mx25m
• Déconnectons, à nouveau, l'un de ces carrés (Y), il va nous servir de base pour modéliser la grande arche.

Les Deux Murs

• Les Murs
• Sélectionnons maintenant le plan de 25mx25m et extrudons-le (E) d'une hauteur de 15m.
• Supprimons les faces du cube que nous venons de créer pour ne conserver que les deux faces verticales parallèles à l'axe Y.
• À partir de ces faces verticales, créons des murs d'une épaisseur de 5m. Il s'agit de sélectionner une face, de l'extruder vers l'intérieur du carré (une valeur négative d'extrusion peut être nécessaire), puis de créer les faces extérieures si elles sont manquantes (sélectionner deux arêtes en maintenant appuyée la touche Maj, puis appuyer sur la touche F) afin d'obtenir deux murs pleins.

Les Deux Pans

• La Toiture
• Créons maintenant un plan horizontal à partir des deux arêtes externes de la partie haute du mur ³⁾.
• Puis, divisons cette face en deux, toujours à l'aide de l'outil « loop cut ».
• Déplaçons l'arrête centrale verticalement afin de créer une toiture à deux pans.

• Il s'agit désormais de positionner à la bonne hauteur cette ligne de faîtage.
• Pour la suite de notre calcul, regardons en élévation notre toiture, et
• Nommons C (voir schéma) le point par lequel passe cette ligne de faîtage

• Il s'agit de déplacer cette arête à une hauteur bien précise :
• 15m plus Position en Z du PC de la vallée escalier (valley_square.blend) diviser par 10.
• P c'est bien l'altitude du coin inférieur gauche du PC tel que calculée dans le Jour J3.2. Cette valeur peut être positive ou négative.
• C l'altitude du faîtage de la toiture de la Grande Arche

Altitude de C : 15 + P / 10 mètres

• Pour mémoire, la Position du PC de la vallée escalier a été calculée à partir de la FormuleDeux, qui est fonction de la Position de l'objet PC ⁴⁾ (relative donc à l' AdresseVille).

La Sous-Face

• Il s'agit à présent de donner une épaisseur à cette toiture qui pour l'instant n'est constituée que de deux plans. L'épaisseur de la toiture doit être en continuité avec l'épaisseur des murs. Pour construire les deux plans constituant la sous-face de cette toiture, nous devons calculer l'altitude du point haut de la sous-face, appelons-le P (voir schéma). La position de ce point doit nous permettre de construire un plan qui soit parallèle à la face externe de la toiture, comme sur cette image :

Le Calcul

• Le Point P
• Q: Quelle est l'altitude du Point P ?
• C'est-à-dire : quelle est l'altitude du Point P me permettant de tracer une droite parallèle au pan de la toiture externe et partant du bord intérieur du mur ?
• Pour trouver l'altitude du point P (voir schéma) il faut, à partir des données existantes, utiliser des formules mathématiques. Ces formules permettent d'exprimer des égalités entre des valeurs. C'est en « manipulant » les termes des équations que nous pouvons trouver l'inconnu à partir du connu.
• Comme toujours en numérique, et en mathématique, il y a souvent plusieurs chemins pour arriver au même résultat. C'est ce qui nous permet d'ailleurs de vérifier la véracité de nos raisonnements et de nos calculs.

La Méthode

• 1) Essayez dans un premier temps de trouver par vous-même ce résultat.
• 2) Ensuite, voici une méthode de résolution que je vous propose :
• Premièrement, dessiner l'élévation de l'objet à construire sur une feuille de papier comme sur cette image. Nous y voyons, les deux murs qui ont une épaisseur de 5m, et les deux pans de la toiture. Sur ce dessin, nous cherchons à déterminer l'épaisseur de la toiture pour qu'elle vienne prolonger de « part et d'autre » les deux murs.

• C'est à partir de ce schéma (ce document que nous dessinons à main levée n'est pas tout à fait correct, c'est ici tout l'art de « raisonner sur une figure fausse » …) que nous allons déterminer quels sont les éléments connus, et quelles sont les formules mathématiques nous permettant de trouver l'inconnu P.
• Nous allons procéder en deux étapes :
  • 1) Déterminer l'angle de la toiture par rapport à l'horizontale (en radians)
  • 2) Déterminer la longueur de la ligne verticale qui joint le sommet de la toiture C et la partie inférieure de la sous-face, le point P
  • Cette distance nous permettra de déterminer l'altitude du point P que nous pourrons alors modéliser à partir du point C.

Les Équations

• Pour réaliser ce calcul, il suffit de poser successivement deux équations utilisant les formules trigonométriques classiques.
• Sur votre schéma, notez le point P et notez les longueurs connues et inconnues par des lettres.

• Dans un premier temps, nous cherchons l'angle que forment les pans inclinés de la toiture avec l'horizontale.
• Commençons par les données « connues ».

• Notons sur le schéma la longueur du pan incliné (la partie extérieure de la toiture) gauche par la lettre t, notons la hauteur du triangle formé par ces pans et une ligne horizontale joignant la base de ce triangle de toiture par la lettre H. Enfin, notons la longueur de la base du triangle ACB par la lettre L.

L'Angle Alpha

• À présent, notons « α » ⁵⁾ l'angle de la toiture que nous cherchons à déterminer
• Chercher une formule trigonométrique qui pourrait nous donner le résultat souhaité (la valeur α en radians) à partir des données connues, qui sont donc les longueurs auxquelles nous venons d'attribuer des lettres.
• Si vraiment, vous ne trouvez pas la formule, inspirez-vous de ces travaux de menuisier-charpentier ⁶⁾.
• Une fois que vous avez trouvé la bonne formule, vous pouvez calculer la valeur trigonométrique (valeur d'un sinus, d'un cosinus ou d'une tangente) générée par ces longueurs connues.
• Ensuite, à partir de cette valeur trigonométrique, vous pouvez trouver l'angle (en radians) grâce à une fonction trigonométrique inverse, voir plus bas.
• Utiliser la console Python pour faire ces calculs.
• Avec ce résultat, nous avons réalisé l'étape (1) de notre calcul.
• Sur Sloyd, ajoutez sur la page README.md du Jour J5 le sous-titre (##) : « Angle Alpha »
• Puis la valeur de l'angle alpha en radians avec 4 chiffres après la virgule.
• Souvenez-vous de la syntaxe : nouvelle ligne, astérisque, espace, Nom (ici:AngleAlpha), pas d'espace et deux-points (:), puis espace, et enfin la valeur.

* AngleAlpha: valeur

Les Fonctions

• Dans la console Python,
• Vous aurez besoin des fonctions trigonométriques suivantes :

cos()
sin()
tan()

• Ces formules prennent en argument des nombres en radians qui sont des angles et renvoient des longueurs comprises entre 0 et 1 ⁷⁾ : c'est le principe du cercle trigonométrique.
• Par exemple, avec le mot clé pi qui vaut donc 3.1415… :

cos(pi)

>>> -1

• Consulter la page Pi
• Vous pourriez également avoir besoin des fonctions « inverses » qui prennent en arguments une longueur et renvoient un angle, en radians.

acos()
asin()
atan()

• Notez, encore une fois, que ces fonctions prennent pour arguments des nombres en radians.
• Si vous avez besoin de convertir en degrés ⁸⁾, utilisez la fonction

degrees()

• ou l'inverse

radians()

La Deuxième Étape

• Maintenant, à l'aide de l'angle α, trouvons la longueur de la ligne ligne e qui nous permettra de positionner le Point P par rapport au Point C.
• Ici la démarche est la suivante :
• Tracez une ligne horizontale passant par C
• Vous notez que cela forme un petit triangle homothétique au grand triangle ACB
• La valeur de l'angle inférieur gauche est donc identique à la valeur de l'angle inférieur gauche du triangle ACB.
• Ensuite, nous pouvons noter que la longueur de la base du petit triangle est identique à la base du mur selon la règle des parallélogrammes.
• De la même façon que dans la partie (1), notez sur votre schéma toutes ces données, puis cherchez la bonne formule trigonométrique et calculez la longueur PC (oui, la ligne P-C :))
• À partir de cette longueur, vous pouvez calculer l'altitude du Point P
• Une fois que vous avez le bon résultat, ajoutez le sur le README.md :

* PointP: altitude

La Modélisation

• La Sous Face
• Avec l'altitude du Point P nous pouvons maintenant modéliser l'Arche.
• Sélectionnez l'un des sommets des deux pans de toiture et faire une extrusion (E) pour générer une ligne à partir de ce point. Déplacer ce point de la longueur de l'arête P-C ou déplacer le point d'une valeur arbitraire, puis renseigner dans la palette des propriétés l'altitude P.
• Créer deux lignes à partir de ce nouveau point et nous avons à présent tous les éléments pour modéliser la Grande Arche Pointue.
• Évidemment, les deux lignes des pans extérieurs et intérieurs doivent être parallèles…
• Ne reste plus qu'à modéliser les faces manquantes en sélectionnant deux arêtes…
• Une fois terminé, enregistrer le fichier en tant que great_arch.blend et déposer le sur Sloyd dans le dossier J5
• Parfait !

La Réalité

• Épilogue
• En réalité, vous utiliserez des logiciels de conception dotés de fonctionnalités vous épargnant de tels calculs ! Dans le cas présent, il s'agira de la fonction « décalage » (offset en anglais) ou inset dans Blender.
• Mais il est bon de savoir faire soi-même de tels calculs.

¹⁾

… en réalité dans Blender, deux triangles, mais c'est une autre histoire…

²⁾

non pas le Grand Python, mais celui qui a été annoncé par l'Oracle de Delphes, la Pythie …

³⁾

c'est la partie qu'on appelle l'« arase » du mur

⁴⁾

du centre de l'objet pour être précis

⁵⁾

oui, c'est ça, la lettre « alpha »

⁶⁾

source : Académie de Créteil

⁷⁾

sauf pour la fonction tan()

⁸⁾

ce n'est pas forcément le cas